【汇旺担保】 李冶(1192~1279)

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[拼音]:Li Ye

中国金、元时期数学家。字仁卿,号敬斋,真定栾城(今河北栾城县)人。生于大兴城(北京),童年到元氏县求学。金哀宗正大七年(1230)中进士,在钧州(河南禹县)任知事两年。1232年,蒙古军破钧州,李冶弃职北走,隐居于崞山(今山西崞县),以研究学问为乐。1251年回到元氏封龙山隐居讲学,与张德辉、元裕友善,号称“龙山三老”。忽必烈大举进攻南宋的前一年(1259),曾在上都(内蒙多伦附近)召见李冶,向他请教用人治国之道。1261年忽必烈登位后,欲以高官厚禄聘请他为官,但李冶以老病为名,婉言拒绝。1264年,元朝为编写辽、金、元历史,设立翰林学士院。1265年李冶被召为翰林学士,就职一年后,又以老病辞去,继续在封龙山隐居,直至去世。

李冶从1232年放弃功名后,便终生从事数学研究。他不完全同意理学家的主张,认为朱熹著作不通的地方也很多,他说:“术数虽居六艺之末,而施之人事,则最为切务。”他反物件数神祕主义,说:“谓数为难穷斯可,谓数为不可穷斯不可。”他认为数学来自客观的自然界,“苟能推自然之理,以明自然之数,则虽远而干端坤倪,幽而神情鬼状,未有不合者矣。”这些思想在当时是十分可贵的,是他在数学上取得重大成就的重要因素之一。

李冶的主要著作有《测圆海镜》十二卷(1248),《益古演段》三卷(1259),《泛说》四十卷,《敬斋古今黈》四十卷,《文集》四十卷,《壁书丛削》十二卷。其中《泛说》、《文集》和《壁书丛削》已佚,现传残本《敬斋古今黈》有《泛说》的引文。

《测圆海镜》这本中国古代的重要数学著作的贡献主要有两点。

(1)天元术就是设“天元一”为未知数,根据问题的已知条件,列出两个相等的多项式,经相减后得出一个高次方程(天元开方式),亦即和设x为未知数列方程一样。其表示法为:在一次项系数旁记一“元”字(或在常数项旁记一“太”字),“元”以上的系数表示各正次幂,“元”以下的系数表示常数和各负次幂(或“太”以上的系数表示各正次幂,“太”以下的系数表示各负次幂)。例如方程2×2+18x+316=0的天元表示式如下:

这在中国传统数学发展中是一个重要的创造,是符号代数学的开端。自从贾宪提出二项系数表与增乘开方法以后,高次方程求正根的解法得到了迅速发展。高次方程的发展要求解决建立方程的方法。13世纪的数学家们都在力图解决这个问题。李冶在《敬斋古今黈》中提到东平《算经》和《复轨》两部著作,前者用仙、明、霄、汉、垒、层、 高、 上、天、人、地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼十九个字来表示正、负次幂和常数;后者用天、地两个字分别表示正次幂和负次幂。李冶改善这些表示法,从而得到他的方法。从李冶著作的细草中知道,多项式加减是同次幂系数相加或相减,常数乘多项式是将常数乘各项的系数,未知数或未知数幂乘多项式是将“元”字移下一层或数层,未知数或未知数幂除多项式是将“元”字移上一层或数层。多项式除法李冶是用下列方法解决的:根据问题的已知条件列出两个多项式

时,则令

相减后得q1(x)-p2(x)q2(x)=0。关于高次方程的建立方法,由于当时的天元术著作多已失传,无从比较,仅就《测圆海镜》引用的洞渊与《铃经》的方法来看,李冶的方法无疑是更为便捷的。

(2)勾股形解法已知勾股形的三边、任二边之和、任二边之差、及勾股积等14项中的任二项,求解勾股形;求勾股形容方(内接正方形)边长和容圆(内切圆)直径等,是古代传统数学的重要内容之一。李冶在《测圆海镜》中把勾股形分成14个相似的小勾股形,得到692条“识别杂纪”和 9种容圆(勾上容圆、股上容圆、弦上容圆、勾股上容圆、 勾外容圆、 股外容圆、弦外容圆、勾外容半圆、股外容半圆)的公式(见)。他除按传统的方法给各勾股形以专门名称(如通勾股形、边勾股形、底勾股形等)外,还给每个勾股形以专门的记号(如天日旦勾股形、其勾为日旦,股为天旦,弦为天日等)。这与他在代数中引入天元作为未知数符号一样,在几何图形表示方面他也突破传统的方法。692条“识别杂纪”实际上相当于692个几何公式;把一个容圆问题推广到 9个,虽不是李冶所创,但他显然是能够证明 9个容圆公式的。因此无论在内容上或方法上对传统数学都是较大的扩充与发展。

《益古演段》

李冶在《测圆海镜》以后写成的另一部天元术著作,是用天元术解释蒋周所著的《益古》(约成书于1078~1224)。当时称方程式各项系数为“条段”,“演段”就是“条段”的演算。在天元术产生以前,这些“条段”的演算是十分复杂的。《益古集》一书,内容十分简单,都不出二次方程的问题,但由于还没有掌握天元术,“条段”演算“匿而不尽发”。因此李冶用天元术加以阐明。他在《测圆海镜》序中曾感叹地说:“览吾之编,察吾苦心,其悯我者当百数,其笑我者当千数。”可见天元术在当时学者中仍多不理解,《益古演段》的写作就有普及天元术的意思。

清代学者对李冶的数学著作曾给以高度的评价。阮元认为《测圆海镜》是“中土数学之宝书”;李善兰称讚它是“中华算书实无有胜于此者”。

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